Сопряжение.
Сопряжение- плавный переход одной линии в другую.
Сопряжение пересекающихся прямых дугой окружности заданного радиуса.
Задача сводится к проведению окружности, касающейся обеих заданных прямых линий.
Вариант 1.
Проводим вспомогательные прямые параллельно заданным на расстоянии R от заданных.
Точка пересечения этих прямых будет центромО дуги сопряжения. Перпендикуляры, опущенные из центра О на
заданные прямые, определят точки касания К и К 1 .
Вариант 2.
Построение такое же.
Сопряжения. Построение сопряжения линий.
Вариант 3.
Если требуется провести окружность, чтобы она касалась трех пересекающихся прямых линий, то в этом случае
Радиус не может быть задан условиями задачи. Центр О окружности находится на пересечении биссектрис углов
В и С . Радиусом окружности является перпендикуляр, опущенный из центра О на любую из 3-х заданных прямых
Линий.
Сопряжения. Построение сопряжений линий.
Построение внешнего сопряжения данной окружности с данной прямойдугой заданного радиуса R 1 .
Из центра О данной окружности проводим дугу вспомогательной окружности радиусом R+R 1 .
Проводим прямую параллельно заданной на расстоянии R 1 .
Пересечение прямой и вспомогательной дуги даст точку центра дуги сопряжения О 1 .
Точка касания дуг К лежит на линии ОО 1 .
Точка касания дуги и линии К 1 лежит на пересечении перпендикуляра из точки О 1 на прямую с дугой.
Сопряжения. Построение внешнего сопряжения окружности с прямой.
Построение внутреннего сопряжения данной окружности с данной прямой дугой заданного радиуса R 1 .
Из центра О данной окружности проводим вспомогательную окружность радиусом R- R 1 .
Сопряжения. Построение внутреннего сопряжения окружности с прямой.
Построение сопряжения двух данных окружностей дугой заданного радиуса R 3 .
Внешнее касание.
Из центра окружности О 1 R 1 +R 3 .
Из центра окружности О 2 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R 2 +R 3 .
Пересечение дуг вспомогательных окружностей даст точку О 3 , которая является центром дуги сопряжения
Точки касания К 1 и К 2 находятся на линиях О 1 О 3 и О 2 О 3 .
Внутреннее касание
Из центра окружности О 1 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R 3 -R 1 .
Из центра окружности О 2 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R 3 - R 2 .
Пересечение
(окружности с радиусом R 3) .
Сопряжения. Сопряжение двух окружностей дугой.
Внешнее и внутреннее касание .
Заданы две окружности с центрами О 1 и О 2 с радиусами r 1 и r 2 . Необходимо провести окружность заданного
Радиуса R так, чтобы обеспечить с одной окружностью внутреннее касание, а с другой - внешнее.
Из центра окружности О 1 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R-r 1 .
Изцентра окружности О 2 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R+r 2 .
Пересечение дуг вспомогательных окружностей даст точку, которая является центром дуги сопряжения
(окружности с радиусом R) .
Сопряжения. Сопряжение двух окружностей дугой.
Построение окружности, проходящей через заданную точку А и касающейся данной окружности
в заданной точке В.
Находим середину прямой линии АВ . Через середину линии АВ поводим перпендикуляр. Пересечение продолжения
Линии ОВ и перпендикуляра дает точку О 1 . О 1 - центр искомой окружности с радиусом R = O 1 B = O 1 A.
Сопряжения. Внутреннее касание окружности и дуги .
Построение сопряжения окружности с прямой линией в заданной на прямой точке А.
Из заданной точки А линии LM восстанавливаем перпендикуляр к прямой линии LM . На продолжении
Перпендикуляра откладываем отрезок АВ . АВ = R. Соединяем точку В с центром окружности О 1 прямой.
Из точки А проводим прямую линию параллельно ВО 1 до пересечения с окружностью. Получим точку К - точку
Касания. Соединим точку К с центром окружности О 1 . Продлим линии О 1 К и АВ до пересечения. Получим точку
О 2 , которая является центром дуги сопряжения с радиусом О 2 А = О 2 К.
Сопряжения. Сопряжение окружности с прямой в заданной точке.
Построение сопряжения окружности с прямой линией в заданной на окружности точке А.
Внешнее касание .
Проводим касательную к окружности через точку А. Пересечение касательной с прямой линией LM даст точку В.
Делим угол пополам
О 1 . О 1 О 1 А = О 1 К.
Внутреннее касание.
Проводим касательную к окружности через точку А. Пересечение касательной с прямой LM даст точку В.
Делим угол , образованный касательной и прямой линией LM , пополам . Пересечение биссектрисы угла и
Продолжения радиуса ОА даст точку О 1 . О 1 - О 1 А = О 1 К.
Сопряжения. Сопряжение окружности с прямой в заданной точке на окружности.
Построение сопряжения двух неконцентрических дуг окружностей дугой заданного радиуса.
Проводим из центра дуги О 1 вспомогательную дугу радиусом R 1 -R 3 . Проводим из центра дуги О 2 вспомогательную
Дугу радиусом R 2 +R 3 . Пересечение дуг даст точку О. О - центр дуги сопряжения с радиусом R 3 . Точки касания
К 1 и К 2 лежат на линиях ОО 1 и ОО 2 .
Сопряжения. Сопряжение 2-х неконцентрических дуг окружностей дугой.
Построение лекальной кривой подбором дуг.
Подбирая центры дуг, совпадающих с участками кривой, можно циркулем вычертить любую лекальную кривую.
Для того чтобы дуги плавно переходили одна в другую, необходимо, чтобы точки их сопряжения (касания)
Находились на прямых линиях, соединяющих центры этих дуг.
Последовательность построений.
Подбираем центр 1 дугипроизвольного участка ab.
На продолжении первого радиуса подбираем центр 2 радиуса дуги участка bc.
На продолжении второго радиуса подбираем центр 3 радиуса дуги участка cd и т. д.
Так строим всю кривую.
Сопряжения. Подбор дуг.
Построение сопряжения двух параллельных прямых двумя дугами.
Заданные на прямых параллельных линиях точки А и В соединяем линией АВ.
Выбираем на прямой АВ произвольную точку М .
Делим отрезки АМ и ВМ пополам .
Восстанавливаем в серединах отрезков перпендикуляры.
В точках А и В, заданных прямых, восстанавливаем перпендикуляры к прямым.
Пересечение соответствующих перпендикуляров даст точки О 1 и О 2 .
О 1 центр дуги сопряжения с радиусом О 1 А = О 1 М.
О 2 центр дуги сопряжения с радиусом О 2 В = О 2 М.
Если точку М выбрать на середине линии АВ , то радиусы дуг сопряжения будут равны.
Касание дуг в точке М , находящейся на линии О 1 О 2 .
Сопряжения. Сопряжение параллельных прямых двумя дугами.
Урок № 23.
Сопряжения
Показать несколько деталей, имеющих скругления.
Рассматривая детали, видим, что в их конструкции часто одна поверхность переходит в другую. Обычно эти переходы делают плавными, что повышает прочность деталей и делает их более удобными в работе.
На чертеже поверхности изображаются линиями, которые также плавно переходят одна в другую.
Такой плавный переход одной линии (поверхности) в другую линию (поверхность) называют сопряжением.
При построении сопряжения необходимо определить границу, где кончается одна линия и начинается другая, т.е. найти на чертеже точку перехода, которая называется точкой сопряжения или точкой касания .
Задачи на сопряжения условно можно разделить на 3 группы.
Первая группа задач включает в себя задачи на построение сопряжений, где участвуют прямые линии. Это может быть непосредственное касание прямой и окружности, сопряжение двух прямых дугой заданного радиуса, а также проведение касательной прямой к двум окружностям.
Построим окружность, касательную к прямой.
Построение окружности, касательной к прямой , связано с нахождением точки касания и центра окружности.
Задана горизонтальная прямая АВ , требуется построить окружность радиусом R , касательную к данной прямой (рис. 1).
Точка касания выбирается произвольно.
Так как точка касания не задана, то окружность радиуса R может коснуться данной прямой в любой точке. Таких окружностей можно провести множество. Центры этих окружностей (О 1 , О 2 и т.д.) будут находиться на одинаковом расстоянии от заданной прямой, т.е. на линии, расположенной параллельно заданной прямой АВ на расстоянии, равном радиусу заданной окружности (рис. 1). Назовем эту линию линией центров .
Проведем линию центров параллельно прямой АВ на расстоянии R . Так как центр касательной окружности не задан, возьмем любую точку на линии центров, например, точку О.
Прежде чем проводить касательную окружность, следует определить точку касания. Точка касания будет лежать на перпендикуляре, опущенном из точки О на прямую АВ . В пересечении перпендикуляра с прямой АВ получим точку К, которая будет точкой касания. Из центра О радиусом R от точки К проведем окружность. Задача решена.
Запишите в свои тетради в клетку следующие правила:
Если в сопряжении участвует прямая линия, то:
1)
центр окружности, касательной к прямой, лежит на прямой (линия центров), проведенной параллельно заданной прямой, на расстоянии, равном радиусу данной окружности;2) точка касания лежит на перпендикуляре, проведенном из центра окружности к заданной прямой.
Сопряжение двух прямых.
На плоскости две прямые могут располагаться параллельно или под углом друг к другу.
Чтобы построить сопряжение двух прямых, необходимо провести окружность, касательную к этим двум прямым.
Откройте рабочие тетради на странице 31.
Рассмотрим сопряжение двух непараллельных прямых.
Две непараллельные прямые располагаются друг к другу под углом, который может быть прямым, тупым или острым. При выполнении чертежей деталей часто такие углы необходимо скруглить дугой заданного радиуса (рис.1). Скругление углов на чертеже есть не что иное, как сопряжение двух непараллельных прямых дугой окружности заданного радиуса. Для выполнения сопряжения необходимо найти центр дуги сопряжения и точки сопряжения.
Известно, что если в сопряжении участвует прямая линия, то центр дуги сопряжения находится на линии центров, которая проводится параллельно заданной прямой на расстоянии, равном радиусу R дуги сопряжения.
Поскольку угол образован двумя прямыми, то проводят две линии центров параллельно каждой прямой на расстоянии, равном радиусу R дуги сопряжения. Точка их пересечения будет центром дуги сопряжения.
Для нахождения точек сопряжения из точки О опускают перпендикуляры на заданные прямые и получают точки сопряжения К и К 1 . Зная точки и центр сопряжения, из точки О радиусом R проводят дугу сопряжения. При обводке чертежа следует сначала обвести дугу, а затем касательные прямые.
При построении сопряжения прямого угла упрощается проведение линии центров, так как стороны угла взаимно перпендикулярны. От вершины угла откладывают отрезки, равные радиусу R дуги сопряжения, и через полученные точки К и К 1 , которые будут точками касания, проводят две линии центров, параллельные сторонам угла. Они будут являться одновременно и линиями центров, и перпендикулярами, определяющими точки сопряжения К и К 1 (стр. 31, рис.1).
Стр. 31, задание 4. Сопряжение двух параллельных прямых.
Чтобы построить сопряжение двух параллельных прямых, необходимо провести дугу окружности, касательной к этим прямым (рис.3).
Рис.3
Радиус этой окружности будет равен половине расстояния между заданными прямыми. Так как точка касания не задана, подобных окружностей можно провести множество. Центры их будут находиться на прямой, проведенной параллельно заданным прямым на расстоянии, равном половине расстояния между ними. Эта прямая будет линией центров.
Точки касания (К 1 и К 2 ) лежат на перпендикуляре, опущенном из центра касательной окружности на заданные прямые (рис. 3а). Так как центр касательной окружности не задан, перпендикуляр проводится произвольно. Отрезок КК 1 делят пополам (рис.3б), проводят через точки пересечения засечек прямую линию параллельно заданным прямым, на которой будут располагаться центры окружностей, касательных к заданным параллельным прямым, т.е. эта линия будет линией центров. Поставив ножку циркуля в точку О , проводят дугу сопряжения (рис. 3в) от точки К до точки К 1 .
Построение прямых, касательных к окружностям
(Р.Т. стр.33).
Задание 1 . Проведите прямую, касательную к окружности через точку А , лежащую на окружности.
Из точки О проводим прямую OB через точку А . Из точки А любым радиусом проводим окружность. При пересечении с прямой получили точки 1 и 2. Из этих точек любым радиусом проводим дуги до пересечения между собой в точках C и D . Из точки C или D проводим прямую через точку А .
Она и будет касательной к окружности, так как касательная всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Задание 2 .
Это построение аналогично построению перпендикуляра к прямой через заданную точку, которое можно выполнить с помощью двух угольников.
Сначала угольник 1 кладется так, чтобы его гипотенуза совпадала с точками O и A . Затем к угольнику 1 прикладывается угольник 2 , который будет направляющим, т.е. по которому будет сдвигаться угольник 1 . Потом угольник 1 приставляем другим катетом к угольнику 2. Затем катаем угольник 1 по угольнику 2 до тех пор, пока гипотенуза не совпадет с точкой A . И проводим прямую, касательную к окружности через точку A .
Задание 3 . Проведите прямую, касательную к окружности через точку, не лежащую на этой окружности.
Даны окружность радиусом R и точка А , не лежащая на окружности, требуется провести из точки А прямую, касательную к данной окружности в верхней ее части. Для этого необходимо найти точку касания. Мы знаем, что точка касания лежит на перпендикуляре, проведенном из центра окружности к касательной прямой. Следовательно, касательная и перпендикуляр образуют прямой угол.
Зная, что всякий угол, вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр, является прямым, соединив точки А и О , принимают отрезок АО за диаметр описанной окружности. В пересечении описанной окружности и окружности радиуса R будет находиться вершина прямого угла (точка К ). Отрезок АО делим пополам при помощи циркуля, получаем точку О 1 (рис.4, б).
Из центра О 1 радиусом, равным отрезку АО 1 , проводим окружность, получаем точки К и К 1 в пересечении с окружностью радиуса R (рис.4 ,в).
Так как нужно провести только одну касательную к верхней части окружности, выбирают нужную точку касания. Этой точкой будет точка К . Точку К соединяем с точками А и О , получаем прямой угол, который опирается на диаметр АО описанной окружности радиусом R 1 . Точка К – вершина этого угла (рис.4, г), отрезки ОК и АК – стороны прямого угла, следовательно, точка К будет искомой точкой касания, а прямая АК – искомой касательной.
Рис.4
Проведение прямой, касательной к двум окружностям.
Даны две окружности радиусами R и R 1 , требуется построить касательную к ним. Возможны два случая касания: внешнее и внутреннее.
При внешнем касании касательная прямая находится с одной стороны от окружностей и не пересекает отрезок, соединяющий центры данных окружностей.
При внутреннем касании касательная прямая находится с разных сторон от окружностей и пересекает отрезок, соединяющий центры окружностей.
Стр. 33. Задание 5 . Проведите прямую, касательную к двум окружностям. Касание внешнее.
Прежде всего необходимо найти точки касания. Известно, что они должны лежать на перпендикулярах, проведенных из центров окружностей (О и О 1 ) к касательной.
Из точки О проводим окружность радиусом R - R 1 ,так как касание внешнее.
Разделим расстояние ОО 1 пополам и проведем окружность радиусом R =ОО 2 =О 1 О 2
Эта окружность пересекает окружность с радиусом R - R 1 в точке К. Соединяем эту точку с О 1 .
Из точки О через точку К проводим прямую до пересечения с окружностью радиусом R . Получили точку К 1 – первую точку касания.
Из точки О 1 проводим прямую, параллельную КК 1 , до пересечения с окружностью радиусом R 1 . Получили вторую точку касания К 2 . Соединяем точки К 1 и К 2 . Это и есть касательная к двум окружностям.
Задание 6 . Проведите прямую, касательную к двум окружностям. Касание внутреннее.
Построение аналогичное, только при внутреннем касании радиус вспомогательной окружности, проводящейся из точки О равен сумме радиусов окружностей R + R 1 .
Вторая группа задач на сопряжения включает в себя задачи, в которых участвуют только окружности и дуги. Плавный переход одной окружности в другую может происходить или непосредственно касанием, или через третий элемент – дугу окружности.
Касание двух окружностей может быть внешним (РТ: стр.32, рис.3) или внутренним (РТ: стр.32, рис.4).
Задание 3 (стр. 32)
При внешнем касании двух окружностей расстояние между центрами этих окружностей будет равно сумме их радиусов.
Из точки О радиусом R + R C проведем дугу. Из точки О 1 радиусом R 1 + R C О С - центр сопряжения.
Соединяем точки О и О 1 с центром сопряжения О С . На окружностях получили точки касания (сопряжения).
Из точки О С радиусом сопряжения R C 30 соединяем точки касания.
Задание 4 (стр. 32)
При внутреннем касании двух окружностей одна из касательных окружностей находится внутри другой окружности, и расстояние между центрами этих окружностей будет равно разности их радиусов.
Из точки О радиусом (R C – R ) проведем дугу. Из точки О 1 радиусом (R C – R 1 ) проведем дугу до пересечения с первой дугой. Получили точку О С - центр сопряжения.
Центр сопряжения О С соединяем с точками О и О 1 с и продлеваем прямую дальше.
На окружностях получили точки касания (сопряжения).
Из точки О С радиусом сопряжения R C 60 соединяем точки касания.
Третья группа задач на сопряжения включает в себя задачи на сопряжения прямой и дуги окружности дугой заданного радиуса.
Выполняя такое задание, решают как бы две задачи: проведение касательной дуги к прямой и касательной дуги к окружности. Касание в этом случае может быть как внешним, так и внутренним.
РТ: стр. 32. Задание 1. Сопряжение окружности и прямой. Касание внешнее. R C 20 .
Заданы прямая и окружность радиусом R , требуется построить сопряжение дугой радиуса R C 20 .
Так как в сопряжении участвует прямая линия, то центр дуги сопряжения находится на прямой, проведенной параллельно заданной прямой на расстоянии, равном радиусу сопряжения R C 20 . Поэтому параллельно заданной прямой на расстоянии 20 мм проводим еще одну прямую.
А центр дуги сопряжения при внешнем касании двух окружностей находится на окружности радиуса, равного сумме радиусов R и R C . Поэтому из точки О радиусом (R + R C О С
Затем находим точки касания. Первая точка касания - это перпендикуляр, опущенный из центра сопряжения на заданную прямую. Вторую точку сопряжения находим, соединив центр сопряжения О С и центр окружности R . Точка касания будет лежат на первом пересечении с окружностью, так как касание внешнее.
Затем из точки О С радиусом R C 20 соединяем точки сопряжения.
РТ: стр. 32. Задание 2. Сопряжение окружности и прямой. Касание внутреннее. R C 60 .
Параллельно заданной прямой проводим линию центров на расстоянии 60 мм. Из точки О радиусом (R с - R ) проводим дугу до пересечения с новой прямой (линией центров). Получим точку О С , которая является центром сопряжения.
Из О С проводим прямую через центр окружности точку О и перпендикуляр на заданную прямую. Получаем две точки касания. И затем из центра сопряжения радиусом 60 мм соединяем точки касания.
>>Черчение: Сопряжения
Плавный переход одной линии в другую называется сопряжением . Общая для сопрягаемых линий точка называется точкой сопряжения, или точкой перехода. Для построения сопряжений надо найти центр сопряжения и точки сопряжений. Рассмотрим различные типы сопряжений. Сопряжение прямого угла.
Пусть необходимо выполнить сопряжение прямого угла радиусом сопряжения, равным отрезку АВ (Н=АВ). Найдем точки сопряжения. Для этого поставим ножку циркуля в вершину угла и раствором циркуля, равным отрезку АВ, сделаем засечки на сторонах угла. Полученные точки а и Ь являются точками сопряжения. Найдем центр сопряжения - точку, равноудаленную от сторон угла. Раствором циркуля, равным радиусу сопряжения, из точек а и Ь проведем внутри угла две дуги до пересечения друг с другом. Полученная точка О - центр сопряжения. Из центра сопряжения описываем дугу заданного радиуса от точки а до точки Ь. Обводим вначале дугу, а затем прямые линии (рис. 70).
Сопряжение острого и тупого углов. Чтобы построить сопряжение острого угла, возьмем раствор циркуля, равный заданному радиусу Н=АВ. Поочередно поставим ножку циркуля в две произвольные точки на каждой из сторон острого угла. Проведем четыре дуги внутри угла, как показано на рис. 71, а.
К ним проведем две касательные до пересечения в точке О - центре сопряжения (рис. 71, б). Из центра сопряжения опустим перпендикуляры на стороны угла.
Полученные точки а и Ь будут точками сопряжения (рис.71, б). Поставив ножку циркуля в центр сопряжения (О), раствором циркуля, равным заданному радиусу сопряжения (Н=АВ), проведем дугу сопряжения.
Аналогично построению сопряжения острого угла строят сопряжение (скругление) тупого угла.Сопряжение двух параллельных прямых.Заданы две параллельные прямые и точка <1, лежащая на одной из них (рис.72). Рассмотрим последовательность построения сопряжения двух прямых. В точке (1 восставим перпендикуляр до пересечения его с другой прямой. Точки d и е являются точками сопряжения. Разделив отрезок de пополам, найдем центр сопряжения. Из него радиусом сопряжения проводим дугу, сопрягающую прямые.
Сопряжение дуг двух окружностей дугой заданного радиуса
Существует несколько типов сопряжения дуг двух окружностей дугой заданного радиуса: внешнее, внутреннее и смешанное.Рассмотрим пример внешнего сопряжения дуг двух окружностей дугой заданного радиуса. Заданы радиусы R 1 и R2 дуг двух окружностей (длины радиусов показаны отрезками прямых). Необходимо построить их сопряжение третьей дугой радиуса R (рис. 73, а). Для нахождения центра сопряжения проводим две вспомогательные дуги: одну радиусом О 1 О = R 1 + R, а другую O 2O = R 2 + R. Точка пересечения вспомогательных дуг является центром сопряжения.
Точки сопряжения K лежат в пересечении прямых О 1 О и O 2O с дугами заданных окружностей. Из центра сопряжения радиусом сопряжения проводим дугу, соединяя точки сопряжений. При обводке построений вначале изображают дугу сопряжения, а затем дуги сопрягаемых окружностей (рис. 73, б).
Внутреннее сопряжение дуг двух окружностей дугой заданного радиуса.При внутреннем сопряжении сопрягаемые дуги окружностей находятся внутри дуги сопряжения (рис. 74). Даны две дуги окружностей с центром O 1 и O 2 , радиусы которых соответственно равны R 1 и R 2 . Необходимо построить сопряжение этих дуг третьей дугой радиуса R. Находим центр сопряжения. Для этого из центра O 1 радиусом, равным R-R 1 и из центра O 2 радиусом, равным R-R 2 , описывают вспомогательные дуги до их взаимного пересечения в точке О. Точка О будет центром сопрягающей дуги радиуса R. Точки сопряжения К лежат на линиях ОО 1 и OO 2 , соединяющих центры дуг окружностей с центром сопряжения.
Вывод
. Определяя величину радиусов вспомогательных дуг, следует:
а) при внешнем сопряжении брать сумму радиусов заданных дуг и радиуса сопряжения, т. е. R 1 + R; R 2 + R (рис. 73);
б) при внутреннем сопряжении нужно использовать разность радиуса сопряжения R и радиусов заданных дуг окружностей, т. е. R-R 1 и R-R 2 (рис. 74).
Вопросы и задания
1. Что называется сопряжением?
2. Какая точка называется центром сопряжения?
3. Какие точки являются точками сопряжения?
Графическая работа
По наглядному изображению детали выполните ее чертеж, применяя правила построения сопряжений (рис. 75).
Н.А.Гордеенко, В.В.Степакова - Черчение.,9 класс
Отослано читателями из интернет-сайтов
Плавный переход прямой линии в дугу или одной дуги в другую называют сопряжением. Для построения сопряжения надо найти центры, из которых проводят дуги, т. е. центры сопряжений (рис. 63). Затем нужно найти точки, в которых одна линия переходит в другую, т. е. точки сопряжений. При построении контура изображения сопрягающиеся линии нужно доводить точно до этих точек. Точка сопряжения лежит на перпендикуляре, опущенном из центра О дуги на сопрягаемую прямую (рис. 64, а), или на линии О 1 О 2 , соединяющей центры сопрягаемых дуг (рис. 64, б). Следовательно, для построения любого сопряжения дугой заданного радиуса нужно найти центр сопряжения и точку сопряжения.
Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса. Даны пересекающиеся под прямым, острым и тупым углами прямые линии (рис. 65, а). Нужно построить сопряжения этих прямых дугой заданного радиуса R.
Для всех трех случаев применяют общий способ построения.
1. Находят точку О - центр сопряжения, который должен лежать на расстоянии R от сторон угла в точке пересечения прямых, проходящих параллельно сторонам угла на расстоянии R от них (рис. 65, б).
Для построения прямых, параллельных сторонам угла, из произвольных точек, взятых на прямых, раствором циркуля, равным R, делают засечки и к ним проводят касательные.
2. Находят точки сопряжений (рис. 65, в). Для этого опускают перпендикуляры из точки О на заданные прямые.
3. Из точки О, как из центра, описывают дугу заданного радиуса R между точками сопряжений (рис. 65, в).
Сопряжение двух параллельных прямых. Заданы две параллельные прямые и на одной из них точка сопряжения т (рис. 66, а). Требуется построить сопряжение.
Построение выполняют следующим образом:
1. Находят центр сопряжения и радиус дуги (рис. 66, б). Для этого из точки m на одной прямой восставляют перпендикуляр до пересечения с другой прямой в точке п. Отрезок делят пополам (см. рис. 56).
2. Из точки О - центра сопряжения радиусом Оm = Оn описывают дугу до точек сопряжения тип (рис. 66, в).
Проведение касательной к окружности. Задана окружность с центром О и точка А (рис. 67, а). Требуется провести из точки А касательную к окружности.
1. Точку А соединяют прямой с заданным центром О окружности.
Строят вспомогательную окружность диаметром, равным ОА (рис. 67, а). Чтобы найти центр О 1 делят отрезок ОА пополам (см. рис. 56).
2. Точки m и n пересечения вспомогательной окружности с заданной - искомые точки касания. Точку А соединяют прямой с точками m или n (рис. 67, б). Прямая Am будет перпендикулярна к прямой Оm, так как угол АmО опирается на диаметр.
Проведение прямой, касательной к двум окружностям. Заданы две окружности радиусом R и R 1 . Требуется построить касательную к ним.
Различают два случая касания: внешнее (рис. 68, б) и внутреннее (рис. 68, в).
При внешнем касании построение выполняют следующим образом:
1. Из центра О проводят вспомогательную окружность радиусом, равным разности радиусов заданных окружностей, т. е. R - R 1 (рис. 68, а). К этой окружности из центра О 1 проводят касательную Оm. Построение касательной показано на рис. 67.
2. Радиус, проведенный из точки О в точку n, продолжают до пересечения в точке m с заданной окружностью радиусом R. Параллельно радиусу Оm проводят радиус 0 1 р меньшей окружности. Прямая, соединяющая точки сопряжений m и р,- касательная к заданным окружностям (рис. 68, б).
При внутреннем касании построение проводят аналогично, но вспомогательную окружность проводят радиусом, равным сумме радиусов R + R 1 (см. рис. 68, в). Затем из центра O 1 проводят касательную к вспомогательной окружности (см. рис. 67). Точку n соединяют радиусом с центром О. Параллельно радиусу On проводят радиус O 1 р меньшей окружности. Искомая касательная проходит через точки сопряжений m и р.
Сопряжение дуги и прямой линии дугой заданного радиуса. Заданы дуга окружности радиусом R и прямая. Требуется соединить их дугой радиусом R 1 .
1. Находят центр сопряжения (рис. 69, а), который должен находиться на расстоянии R 1 от дуги и от прямой. Такому условию соответствует точка пересечения прямой линии, параллельной заданной прямой, проходящей от нее на расстоянии R 1 , и вспомогательной дуги, отстоящей от заданной также на расстоянии R 1 . Поэтому проводят вспомогательную прямую, параллельную заданной прямой, на расстоянии, равном радиусу сопрягающей дуги R 1 (рис. 69, а). Раствором циркуля, равным сумме заданных радиусов R + R 1 , описывают из центра О дугу до пересечения с вспомогательной прямой. Полученная точка O 1 - центр сопряжения.
2. По общему правилу находят точки сопряжения (рис. 69, б). Соединяют прямой центры сопрягаемых дуг O 1 и О. Опускают из центра сопряжения O 1 перпендикуляр на заданную прямую.
3. Из центра сопряжения O 1 между точками сопряжения m и n проводят дугу, радиус которой равен R 1 (см. рис. 69, б).
Сопряжение двух дуг окружности дугой заданного радиуса. Заданы две дуги радиусами R 1 и R 2 . Требуется построить сопряжение дугой, радиус которой задан.
Различают два случая касания: внешнее (рис. 70, б) и внутреннее (рис. 70, в). В обоих случаях центры сопряжений должны быгь расположены на расстоянии, равном радиусу дуги сопряжения, от заданных дуг. По общему правилу на прямых, соединяющих центры сопрягаемых дуг, находят точки сопряжения.
Ниже приведен порядок построения для внешнего и внутреннего касаний.
Для внешнего касания. 1. Из центров O 1 и О 2 раствором циркуля, равным сумме радиусов заданной и сопрягающей дуг, проводят вспомогательные дуги (рис. 70, а); радиус дуги, проведенной из центра O 1 , равен R + R 3 , а радиус дуги, проведенной из центра O 2 , равен R 2 + R 3 . На пересечении вспомогательных дуг расположен центр сопряжения - точка О 3 ,.
2. Соединив прямыми точку O 1 с точкой O 3 и точку O 2 с точкой O 3 , находят точки сопряжения m и n (см. рис. 70, б),
3. Из точки О 3 раствором циркуля, равным R 3 , между точками m и n описывают сопрягающую дугу.
Для внутреннего касания выполняют те же построения, но радиусы дуг берут равными разности радиусов сопрягающей и заданной дуг, т.е. R 4 -R 1 и R 4 -R 2 . Точки сопряжения р и k лежат на продолжении линий, соединяющих точку О 4 с точками O 1 и O 2 .
Лист № 4
Цель задания : ознакомление с правилами построения плавного перехода от одной линии к другой.
Выполнить на листе формата А4 задание «Сопряжение», взяв данные по своему варианту из таблицы 6 (стр. 38-41).
Сопряжением линий называется плавный переход по кривой от одной линии к другой. Точкой сопряжения линий называется общая точка двух сопрягаемых линий, это точка в которой одна линия переходит в другую линию.
Построение сопряжений основано на геометрических понятиях о прямых, касательных к окружностям и на свойствах касающихся между собой окружностей.
Для правильного выполнения чертежей необходимо уметь выполнять построения сопряжений, которые основаны на двух положениях:
1. Для сопряжения прямой линии и дуги необходимо, чтобы центр окружности, которой принадлежит дуга, лежал на перпендикуляре к прямой, восстановленном из точки сопряжения (рисунок 38). При сопряжении прямой линии и кривой прямая должна являться одновременно касательной к кривой.
2. Для сопряжения двух дуг необходимо, чтобы центры окружностей, которым принадлежат дуги, лежали на прямой, проходящей через точку сопряжения и перпендикулярной к общей касательной этих дуг (рисунок 38). Точку сопряжения находят на прямой, соединяющей центры окружностей. Точка сопряжения (В) является границей двух линий, здесь кончается одна линия и начинается другая. Следовательно, точки сопряжения являются вместе с тем и точками касания прямой и дуги или двух дуг.
Рисунок 38 – Построение сопряжений
Рассмотрим построение сопряжений сторон угла (острого, тупого, прямого) дугой заданного радиуса R (рисунок 39).
На рисунке 39а выполнено построение сопряжения сторон острого угла дугой, на рисунке 39б – тупого угла, на рисунке 39в – прямого.
Сопряжение выполняется следующим образом: параллельно сторонам угла на расстоянии, равном радиусу дуги R, проводят две вспомогательные прямые линии. Точка пересечения этих линий будет центром дуги радиуса R, т.е. центром сопряжения. Из центра О описывают дугу, плавно переходящую в прямые – стороны угла. Дугу заканчивают в точках М и N – это точки сопряжения, они являются основаниями перпендикуляров, опущенных из центра О на стороны угла.
Рисунок 39 – Построение сопряжений
Рассмотрим построение сопряжения дуги с дугой.
Сопряжение двух дуг окружностей может быть внутренним, внешним и смешанным.
При внутреннем сопряжении центры О и О 1 сопрягаемых дуг находятся внутри сопрягающей дуги радиуса R (рисунок 40а).
При внешнем сопряжении центры О и О 1 сопрягаемых дуг радиусов R 1 и R 2 находятся вне сопрягающей дуги радиуса R (рисунок 40б).
При смешанном сопряжении центр О 1 одной из сопрягаемых дуг лежит внутри сопрягающей дуги радиуса R, а центр О другой сопрягаемой дуги вне её (рисунок 40в).
а) б) в)
Рисунок 40 – Построение сопряжений
Построение внутреннего сопряжения.
а) радиусы сопрягаемых окружностей R 1 и R 2 ;
б) расстояние l 1 и l 2 между центрами этих дуг;
в) радиус R сопрягающей дуги.
Требуется:
в) провести дугу сопряжения.
Построение сопряжения показано на рисунке 40а. По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже намечают центры О и О 1 , из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О 1 проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R 2 , а из центра О – радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R 1 . Вспомогательные дуги пересекутся в точке О 2 , которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.
Для нахождения точек сопряжения точку О 2 соединяют с точками О и О 1 прямыми линиями. Точки пересечения продолжения прямых О 2 О и О 2 О 1 с сопрягаемыми дугами являются искомыми точками сопряжения (точки S и S 1).
Радиусом R из центра О 2 проводят сопрягающую дугу между точками сопряжения S и S 1 .
Построение внешнего сопряжения.
б) расстояние l 1 и l 2 между центрами этих дуг;
в) радиус R сопрягающей дуги.
Требуется:
а) определить положение центра О 2 сопрягающей дуги;
б) найти точки сопряжения S и S 1 ;
в) провести дугу сопряжения.
Построение внешнего сопряжения показано на рисунке 40б. По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже намечают центры О и О 1 , из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R 1 и сопрягающей R, а из центра О 1 – радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой R 2 и сопрягающей R. Вспомогательные дуги пересекутся в точке О 2 , которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.
Для нахождения точек сопряжения центры дуг соединяют прямыми линиями ОО 2 и О 1 О 2 . Эти две прямые пересекают сопрягаемые дуги в точках сопряжения S и S1.
Из центра О 2 радиусом R проводят сопрягающую дугу, ограничивая её точками сопряжения S и S 1 .
Построение смешанного сопряжения.
а) радиусы R 1 и R 2 сопрягаемых дуг окружностей;
б) расстояние l 1 и l 2 между центрами этих дуг;
в) радиус R сопрягающей дуги.
Требуется:
а) определить положение центра О 2 сопрягающей дуги;
б) найти точки сопряжения S и S 1 ;
в) провести дугу сопряжения.
Пример смешанного сопряжения приведен на рисунке 41 а,б .
а) б)
Рисунок 41 – Построение сопряжений
По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже намечают центры О и О 1 , из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R 1 и сопрягающей R, а из центра О 1 – радиусом, равным разности радиусов R и R 2 . Вспомогательные дуги пересекутся в точке О 2 , которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.
Соединив точки О и О 2 прямой получают точку сопряжения S 1 , соединив точки О 1 и О 2 находят точку сопряжения S. Из центра О 2 проводят дугу сопряжения от S до S 1 .
Таблица 6 – Варианты графической работы на построение сопряжений
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8Продолжение таблицы 6
|
|
|
|
|
|
|
|
9
10
11
12
13